Question

已知點(diǎn)P₁（a₁，b₂），P₂（a₂，b₂）…P_n（a_n，b_n）（n為正整數(shù)）都在函數(shù)y=(

1

2

)x的圖象上，且數(shù)列{a_n}是a₁=1，公差為1的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)數(shù)列{a_n}，對(duì)每個(gè)正整數(shù)k，在a_k與a_k+1之間插入2^k-1個(gè)5（如在a₁與a₂之間插入2⁰個(gè)5，a₂與a₃之間插入2¹個(gè)5，a₃與a₄之間插入2²個(gè)5，…，依此類推），得到一個(gè)新數(shù)列{d_n}，設(shè)S_n是數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和，試求S₁₀₀₀．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)函數(shù)解析式求解bn=(

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)an，an=n，bn=(

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)n(n∈N*)即可．
（2）運(yùn)用遞推得出：新數(shù)列中從a₁到a_k共有A_k項(xiàng)：A_k=k+2^k-1-1，求解即可．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)P₁（a₁，b₂），P₂（a₂，b₂）…P_n（a_n，b_n）（n為正整數(shù)）都在函數(shù)y=(

1

2

)x的圖象上，且數(shù)列{a_n}是a₁=1，公差為1的等差數(shù)列．
∴bn=(

1

2

)an，an=n，bn=(

1

2

)n(n∈N*)
（2）設(shè)新數(shù)列中從a₁到a_k共有A_k項(xiàng)：A_k=k+2^k-1-1，
當(dāng)k=10時(shí)，A_k＜1000，當(dāng)k=11時(shí)，A_k＞1000，
S₁₀₀₀=a₁+a₂…+a₁₀+5×（990）=5005．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了數(shù)列與函數(shù)的綜合，運(yùn)用常見的數(shù)學(xué)知識(shí)求解，遞推，屬于中檔題．