Question

已知拋物線x²=4y，過原點作斜率為1的直線交拋物線于第一象限內一點P₁，又過點P₁作斜率為

1

2

的直線交拋物線于點P₂，再過P₂作斜率為

1

4

的直線交拋物線于點P₃，-2＜x＜4，如此繼續(xù)．一般地，過點3＜x＜5作斜率為

1

2n

的直線交拋物線于點P_n+1，設點P_n（x_n，y_n）．
（1）求x₃-x₁的值；
（2）令b_n=x_2n+1-x_2n-1，求證：數列{b_n}是等比數列；
（3）記P_奇（x_奇，y_奇）為點列P₁，P₃，…，P_2n-1，…的極限點，求點P_奇的坐標．

Answer 1

考點：數列與解析幾何的綜合

專題：計算題,等差數列與等比數列,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）求出直線方程，聯立拋物線方程，求出交點，即可得到；
（2）設出兩點點P_n（x_n，

1

4

xn2）．P_n+1（x_n+1，

1

4

xn+12），由直線的斜率公式，再由條件，運用等比數列的定義，即可得證；
（3）運用累加法，求得x_2n+1=

8

3

+

4

3×4n

，再由數列極限的概念，即可得到點P_奇的坐標．

解答： （1）解：直線OP₁的方程為y=x，
由　

x2=4y y=x

解得P₁（4，4），
直線P₂P₁的方程為y-4=

1

2

（x-4），即y=

1

2

x+2，
由　

x2=4y y= 1 2 x+2

得P₂（-2，1），
直線P₂P₃的方程為y-1=

1

4

（x+2），即y=

1

4

x+

3

2

，
由　

x2=4y y= 1 4 x+ 3 2

解得，P₃（3，

9

4

），
所以x₃-x₁=3-4=-1．   
（2）證明：因為設點P_n（x_n，

1

4

xn2）．P_n+1（x_n+1，

1

4

xn+12），
由拋物線的方程和斜率公式得到，

1

4

xn+12-xn2

xn+1-xn

=

1

2n

⇒xn+1+xn=

4

2n

，
所以x_n+x_n-1=

8

2n

，兩式相減得x_n+1-x_n-1=-

4

2n

，
用2n代換n得b_n=x_2n+1-x_2n-1=-

4

4n

，
由（1）知，當n=1時，上式成立，
所以{b_n}是等比數列，通項公式為b_n=-

4

4n

；
（3）解：由x2n+1-x2n-1=-

4

4n

得，x3-x1=-

4

4

，x5-x3=-

4

42

，…，
x2n+1-x2n-1=-

4

4n

，
以上各式相加得x_2n+1=

8

3

+

4

3×4n

，
所以x_奇=

lim

n→∞

x2n+1=

8

3

，y_奇=

1

4

x_奇²=

16

9

，
即點P奇的坐標為（

8

3

，

16

9

）．

點評：本題考查聯立直線方程和拋物線方程求交點，考查等比數列的定義和通項公式的求法，考查累加法求數列通項，及數列極限的運算，屬于中檔題．