Question

設(shè) A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是橢圓（a＞b＞0）上的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量且．
（1）若A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)，證明點(diǎn)M在橢圓上；
（3）若點(diǎn)P、Q為橢圓 上的兩點(diǎn)，且，試問：線段PQ能否被直線OA平分？若能平分，請加以證明；若不能平分，請說明理由．

Answer 1

解：（1）將x₁=a，y₁=0代入（）•（）=0，得（1，0）•（）=0，
所以x₂=0，y₂=±b，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，±b）．
（2）因（）•（）=0，所以，
又因A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在橢圓上，所以，=（x₁cosθ+x₂sinθ，y₁cosθ+y₂sinθ）
把M點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程左邊得：==cos²θ+sin²θ+2sinθcosθ×0=1所以點(diǎn)M在橢圓上．
（3）設(shè)點(diǎn)P（m₁，n₁）Q（m₂，n₂），則
且，
所以，
故有
即
又∥，而，得（A）
又由，得，（B）
所以由（A）（B）得，
即
故線段PQ被直線OA平分．
分析：（1）將x₁=a，y₁=0代入（）•（）=0，得（1，0）•（）=0，由此能求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）因（）•（）=0，所以，又因A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在橢圓上，所以，=（x₁cosθ+x₂sinθ，y₁cosθ+y₂sinθ），由此能夠證明所以點(diǎn)M在橢圓上．
（3）設(shè)點(diǎn)P（m₁，n₁）Q（m₂，n₂），則，且，，所以，故，由此能夠?qū)С鼍�段PQ被直線OA平分．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．