Question

9．設(shè)定值a∈（0，1），試求函數(shù)y=$\frac{a（cosx+a）}{2acosx+{a}^{2}+1}$的最大值與最小值．

Answer 1

分析 分類常數(shù)化簡可得y=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{{a}^{2}-1}{2acosx+{a}^{2}+1}$），易得a²-1＜0，由函數(shù)的單調(diào)性可得．

解答 解：化簡可得y=$\frac{a（cosx+a）}{2acosx+{a}^{2}+1}$
=$\frac{acosx+{a}^{2}}{2acosx+{a}^{2}+1}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{2acosx+{a}^{2}+1+{a}^{2}-1}{2acosx+{a}^{2}+1}$
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{{a}^{2}-1}{2acosx+{a}^{2}+1}$），
∵a∈（0，1），∴a²-1＜0，
當cosx=-1時，函數(shù)取最大值$\frac{a}{a-1}$；
當cosx=1時，函數(shù)取最小值$\frac{a}{a+1}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，整體分類常數(shù)是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．