Question

已知橢圓的離心率，過點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點(diǎn)的距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知定點(diǎn)E（-1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點(diǎn)？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線AB方程為bx-ay-ab=0，依題意可得：，由此能求出橢圓的方程．
（2）假設(shè)存在這樣的值．，得（1+3k²）x²+12kx+9=0，再由根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．
解答：解：（1）直線AB方程為bx-ay-ab=0，
依題意可得：，
解得：a²=3，b=1，
∴橢圓的方程為．
（2）假設(shè)存在這樣的值．
，
得（1+3k²）x²+12kx+9=0，
∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0…①，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則
而y₁•y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k₂x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
要使以CD為直徑的圓過點(diǎn)E（-1，0），
當(dāng)且僅當(dāng)CE⊥DE時(shí)，
則y₁x₁+y₂x₂+1=-1，
即y₁y₂+（x₁+1）（x₂+1）=0，
∴（k₂+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₁）+5=0…③
將②代入③整理得k=，
經(jīng)驗(yàn)證k=使得①成立綜上可知，存在k=使得以CD為直徑的圓過點(diǎn)E．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓與圓錐曲線的綜合性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．