Question

8．已知遞減等差數(shù)列{a_n}中，a₃a₇=-12，a₄+a₆=4，則
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)a_n及前n項(xiàng)和S_n；
（2）求數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)遞減等差數(shù)列{a_n}的公差為d＜0，可得a₃a₇=-12，a₄+a₆=4=a₃+a₇，解得a₃，a₇，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式即可得出．
（2）由a_n≥0，解得n≤6．可得n≤6時(shí)，數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n=S_n．n≥7時(shí)，數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n=S₆-（a₇+…+a_n）=2S₆-S_n．

解答 解：（1）設(shè)遞減等差數(shù)列{a_n}的公差為d＜0，
∵a₃a₇=-12，a₄+a₆=4=a₃+a₇，
解得a₃=6，a₇=-2，
∴4d=-8，解得d=-2．
∴a_n=a₃+d（n-3）=6-2（n-3）=12-2n．
S_n=$\frac{n（10+12-2n）}{2}$=11n-n²．
（2）由a_n=12-2n≥0，解得n≤6．
∴n≤6時(shí)，數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n=S_n=11n-n²．
n≥7時(shí)，數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n=S₆-（a₇+…+a_n）=2S₆-S_n=2×（11×6-6²）-（11n-n²）=60-11n+n²．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{11n-{n}^{2}，n≤6}\\{60-11n+{n}^{2}，n≥7}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式、絕對(duì)值數(shù)列求和，考查了分類討論思想、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．