Question

1．已知曲線C₁：x²+y²=1經(jīng)過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=3y}\end{array}\right.$后得到曲線C₂．
（1）求曲線C₂的方程；
（2）求曲線C₂上所有點（x′，y′）中（x′-2）（y′-3）的最大值和最小值及對應(yīng)的點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由x²+y²=1、$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=3y}\end{array}\right.$，可得曲線C₂的方程；
（2）利用曲線C₂的參數(shù)方程，即可求曲線C₂上所有點（x′，y′）中（x′-2）（y′-3）的最大值和最小值及對應(yīng)的點的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由x²+y²=1、$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=3y}\end{array}\right.$，可得曲線C₂的方程為（$\frac{x′}{2}$）²+（$\frac{y′}{3}$）²=1，
化簡得：$\frac{x{′}^{2}}{4}+\frac{y{′}^{2}}{9}$=1．
（2）設(shè)x′=2cosθ，y′=3sinθ（θ∈[0，2π]），
則（x′-2）（y′-3）=6（cosθ-1）（sinθ-1）=6[sinθcosθ-（sinθ+cosθ）+1]
設(shè)sinθ+cosθ=t（t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]），sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴（x′-2）（y′-3）=3（t-1）²≥0
當(dāng)t=1時，即x′=2，y′=0或x′=0，y′=3時取等號．

點評 本題主要考查伸縮變換，考查參數(shù)方程的運用，屬于基礎(chǔ)題．