Question

16．若函數(shù)f（x）=sin³xcosx+cos³xsinx+$\sqrt{3}$sin²x．
（1）求函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程；
（2）求單調(diào)減區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí) 求函數(shù)f（x）值域．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由2x-$\frac{π}{3}$=kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程．
（2）2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
（3）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)f（x）值域．

解答 解：（1）∵f（x）=sin³xcosx+cos³xsinx+$\sqrt{3}$sin²x．
=sinxcosx+$\sqrt{3}$sin²x．
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由2x-$\frac{π}{3}$=kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程：x=$\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{12}$，k∈Z．
（2）2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為：[kπ+$\frac{5π}{12}$，k$π+\frac{11π}{12}$]，k∈Z．
（3）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴函數(shù)f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$值域?yàn)椋篬0，1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．