Question

9．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2sinθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=2+3t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）寫出直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=y}\end{array}\right.$得到曲線C′，再將曲線C′的圖象向下平移一個(gè)單位，得到曲線C₀．設(shè)曲線C₀上任意一點(diǎn)M（x，y），求x+2$\sqrt{3}$y的最大值．

Answer 1

分析 （1）直接消去參數(shù)t得直線l的普通方程，根據(jù)ρ²=x²+y²可得曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）先根據(jù)伸縮變換得到曲線C′的方程，然后將曲線C′的圖象向下平移一個(gè)單位，得到曲線C₀，設(shè)M的坐標(biāo)代入x+2$\sqrt{3}$y，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可求出所求．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2sinθ，直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2y，
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=2+3t}\end{array}\right.$，普通方程為3x-y-1=0；
（2）伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=y}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}x′}\\{y=y′}\end{array}\right.$，代入x²+y²=2y可得$\frac{x{′}^{2}}{4}$+（y′-1）²=1，
將曲線C′的圖象向下平移一個(gè)單位，得到曲線C₀：$\frac{x{′}^{2}}{4}$+（y′-2）²=1，
設(shè)x′=2cosα，y′=2+sinα，
∴x+2$\sqrt{3}$y=2cosα+2$\sqrt{3}$（2+sinα）=4$\sqrt{3}$+2$\sqrt{13}$sin（α+θ），
∴x+2$\sqrt{3}$y的最大值是4$\sqrt{3}$+2$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程化直角坐標(biāo)方程，以及橢圓的參數(shù)方程在求最值上的應(yīng)用和三角函數(shù)求出最值，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．