已知a，b都是正實(shí)數(shù)，且a+b=1
（Ⅰ）求證：
1
a
+
1
b
≥4；      
（Ⅱ）求(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2的最小值．
考點(diǎn)：基本不等式
專題：不等式的解法及應(yīng)用
分析：（Ⅰ）利用基本不等式的性質(zhì)即可得出；
（Ⅱ）利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
解答： （Ⅰ）證明：
1
a
+
1
b
=
a+b
a
+
a+b
b
=2+
b
a
+
a
b
≥2+2
b
a
•
a
b
=4．

（Ⅱ）解：(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2≥2×
(a+
1
a
+b+
1
b
)2
4
，
即(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2≥
(1+
1
ab
)
2
2，
又∵
a+b
2
≥
ab

得0＜ab≤
1
4
，
即
1
ab
≥4，
∴1+
1
ab
≥5．
∴(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2≥
25
2

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=
1
2
上式等號(hào)成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

lg2.5-lg
5
8
+lg
1
2
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}滿足a2=3，a4=5，則S5=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若X是一個(gè)集合，τ是一個(gè)以X的某些子集為元素的集合，且滿足：
①X屬于τ，ϕ屬于τ；
②τ中任意多個(gè)元素的并集屬于τ；
③τ中任意多個(gè)元素的交集屬于τ．則稱τ是集合X上的一個(gè)拓?fù)洌?br />已知集合X={a，b，c}，對(duì)于下面給出的四個(gè)集合τ：
①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；
②τ={∅，，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；
③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；
④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．
其中是集合X上的拓?fù)涞募夕拥男蛱?hào)是（　�。�
A、①B、②C、②③D、②④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（　�。�
A、y=2x
B、y=（x-1）0
C、y=
x2
D、y=
3x3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

同時(shí)具有性質(zhì)“①最小正周期是π，②圖象關(guān)于直線x=
π
3
對(duì)稱”的一個(gè)函數(shù)是（　�。�
A、y=sin（
x
2
+
π
6
）
B、y=cos（x+
π
3
）
C、y=cos（2x-
π
6
）
D、y=sin（2x-
π
6
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知命題P：x=1是ax2+bx+c=0的一個(gè)根，命題q：a+b+c=0，則p是q的（　　）條件．
A、充分非必要
B、必要非充分
C、充要
D、既不充分也不必要

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

計(jì)算：log4
7
48
+log412-
1
2
log442=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）=xcos2x在區(qū)間[0，3π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　�。�
A、5B、6C、7D、8

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