Question

4．如圖，互相垂直的兩條公路AM、AN旁有一矩形花園ABCD，現(xiàn)欲將其擴(kuò)建成一個(gè)更大的三角形花園APQ，要求P在射線AM上，Q在射線AN上，且PQ過點(diǎn)C，其中AB=30米，AD=20米．記三角形花園APQ的面積為S．
（1）設(shè)DQ=x米，將S表示成x的函數(shù)．
（2）當(dāng)DQ的長度是多少時(shí)，S最��？并求S的最小值．
（3）要使S不小于1600平方米，則DQ的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

分析 （1）由于DC∥AB得出△QDC∽△QAP，從而AQ，AP用DQ表示，利用三角形的面積公式表示出面積；
（2）再利用基本不等式求最值，注意等號(hào)何時(shí)取得；
（3）由S不超過1600m²，建立不等式，從而可求DQ長的取值范圍．

解答 解：（1）DQ=x，可得AQ=x+20，
由三角形的相似可得$\frac{x}{x+20}$=$\frac{30}{AP}$，
即AP=$\frac{30（x+20）}{x}$，
則S=$\frac{1}{2}$AP•AQ=$\frac{1}{2}$•$\frac{30（x+20）}{x}$•（x+20）
=15（x+$\frac{400}{x}$+40）；
（2）S=15（x+$\frac{400}{x}$+40）≥15（2$\sqrt{x•\frac{400}{x}}$+40）=1200，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{400}{x}$，即x=20，等號(hào)成立．
此時(shí)x=20米，S有最小，且為1200米²；
（3）由S≥1600，即3x2-200x+1200≥0，
解得x≥60或x≤$\frac{20}{3}$，
由x＞0，可得0＜x≤$\frac{20}{3}$或x≥60，
即有DQ的范圍是（0，$\frac{20}{3}$]∪[60，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的能力，考查解不等式，考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題．