Question

2．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{$\frac{2n+1}{{a}_{n}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過a_n+1=2S_n+1與a_n=2S_n-1+1（n≥2）作差、整理可知數列{a_n}是首項為1、公比為3的等比數列，進而計算可得結論；
（2）通過a_n=3^n-1可知$\frac{2n+1}{{a}_{n}}$=$\frac{2n+1}{{3}^{n-1}}$，利用錯位相減法計算即得結論．

解答 解：（1）∵a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），
∴a_n=2S_n-1+1（n≥2），
兩式相減得：a_n+1=3a_n（n≥2），
由a_n+1=2S_n+1得：a₂=2a₁+1=3，
∴a₂=3a₁滿足上式，
∴數列{a_n}是首項為1、公比為3的等比數列，
∴a_n=3^n-1；
（2）∵a_n=3^n-1，
∴$\frac{2n+1}{{a}_{n}}$=$\frac{2n+1}{{3}^{n-1}}$，
∴T_n=$\frac{3}{{3}^{0}}$+$\frac{5}{3}$+…+$\frac{2n-1}{{3}^{n-2}}$+$\frac{2n+1}{{3}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{3}{3}$+$\frac{5}{{3}^{2}}$+…+$\frac{2n-1}{{3}^{n-1}}$+$\frac{2n+1}{{3}^{n}}$，
兩式相減得：$\frac{2}{3}$T_n=3+2（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$）-$\frac{2n+1}{{3}^{n}}$=4-$\frac{2n+4}{{3}^{n}}$，
∴T_n=6-$\frac{n+2}{{3}^{n-1}}$．

點評 本題考查數列的通項及前n項和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．