Question

已知函數(shù)在上為增函數(shù)，，

（1）求的值；

（2）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（3）若在上至少存在一個，使得成立，求的取值范圍.

 

Answer 1

(1) ;

(2) 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，遞減區(qū)間為 , 有極大值為;

(3) .

【解析】

試題分析：（1）因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以在上恒成立；由此可有，由知.

(2) 令則,根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞減，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，遞減區(qū)間為 ,有極大值為.

(3) 令,分情況討論：

?當(dāng)時，有，，所以：

即在恒成立，此時不存在使得成立

?當(dāng)時，

∵，∴， 又，∴在上恒成立。

∴在上單調(diào)遞增，∴

令，則故所求的取值范圍為

（1）由已知在上恒成立

即 ∵，∴

故在上恒成立，只需

即，∴只有，由知 3分

（2）∵，∴，

∴ （4分），

令則

的變化情況如下表：

	＋	0	－
	單調(diào)增↗	極大值	單調(diào)減↘

 

即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，遞減區(qū)間為 (6分）

有極大值為 7分

（3）令，

?當(dāng)時，有，，所以：

即在恒成立，

此時不存在使得成立 8分

?當(dāng)時，

∵，∴， 又，∴在上恒成立。

∴在上單調(diào)遞增，∴ 10分

令，

則故所求的取值范圍為 12分

考點：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問題，函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間，分類討論思想.