Question

在“十一”期間，某電器專賣店設計了一項家用小型空調(diào)有獎促銷活動，每購買一臺空調(diào)，即可通過電腦產(chǎn)生一組3個數(shù)的隨機數(shù)組，并根據(jù)下表兌獎：

獎次	一等獎	二等獎	三等獎
隨機數(shù)組特征	3個8或3個1	只有2個8或只有2個1	只有一個8或只有1個1
獎金（單位：元）	4m	2m	m

商家為了解計劃的可行性，以便估計獎金數(shù)，進行了隨機模擬試驗產(chǎn)生了20組隨機數(shù)，每組三個數(shù)，試驗結果如下：247，235，145，124，754，353，296，658，379，011，521，356，208，954，245，364，135，888，357，265．
（Ⅰ）在以上20組數(shù)中，隨機抽取3組數(shù)，求至少有一組獲獎的概率；
（Ⅱ）根據(jù)上述模擬試驗的結果，將頻率視為概率：
①若活動期間，某人購買3臺空調(diào)，求恰好有一臺中獎的概率；
②若本次活動計劃平均每臺空調(diào)的獎金不超過300元，求m的最大值．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：應用題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）利用對立事件的概率，即可求出隨機抽取3組數(shù)，至少有1組獲獎的概率；
（Ⅱ）①求出每購買一臺空調(diào)獲獎的概率，利用相互獨立事件概率公式，可求恰好有一臺中獎的概率；
②設ξ為獲得獎金的數(shù)額，則ξ的可能取值為0，m，2m，5m，求出ξ的分布列，可得期望，利用本次活動平均每臺電視的獎金不超過300元，即可求m的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）設“在以上模擬的20組數(shù)中，隨機抽取3組數(shù)，至少有1組獲獎”為事件A，則
由數(shù)組知，沒中獎的組數(shù)為12，∴P（A）=1-

C 3 12

C 3 20

=

46

57

（Ⅱ）①由題意得，每購買一臺空調(diào)獲獎的概率為P=

8

20

=

2

5

，
設“購買3臺空調(diào)，恰有一臺獲獎”為事件B，則P（B）=

C

1 3

•

2

5

•(

3

5

)2=

54

125

．
②設“購買一臺空調(diào)獲一等獎”為事件A₁，“購買一臺空調(diào)獲二等獎”為事件A₂，“購買一臺空調(diào)獲三等獎”為事件A₃，則P（A₁）=

1

20

，P（A₂）=

1

20

，P（A₃）=

6

20

設ξ為購買一臺空調(diào)獲得獎金是數(shù)額，則ξ的可能取值為0，m，2m，4m，則ξ的分布列為

ξ	0	m	2m	4m
P	12 20	6 20	1 20	1 20

∴Eξ=0+

6m

20

+

2m

20

+

4m

20

=

3

5

m
∵Eξ=

3

5

m≤300，
∴m≤50，
∴m的最大值為500．

點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的期望與方差，確定變量的取值，求出相應的概率是關鍵．