Question

已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+1|，不等式f（x）≥4的解集為M．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）當(dāng)a，b∈M時，證明：|

a

2

+

2

b

|≥|

a

b

+1|．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法

專題：

分析：（Ⅰ）由題意可得 f（x）=

-2x  ， x＜-1 2  ， -1≤x＜1 2x  ， x≥1

，分類討論求得不等式f（x）≥4的解集M．
（Ⅱ）由題意可得a²≥4，b²≥4，計算左邊的平方減去右邊的平方的結(jié)果大于或等于零，不等式得證．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得 f（x）=|x-1|+|x+1|=

-2x  ， x＜-1 2  ， -1≤x＜1 2x  ， x≥1

，
當(dāng)x＜-1時，由-2x≥4，得x≤-2；
當(dāng)-1≤x≤1時，由f（x）=2＜4可得不等式f（x）≥4無解；
當(dāng)x＞1時，由2x≥4，得x≥2；
所以M={x|x≤-2，或x≥2}．
（Ⅱ）當(dāng)a，b∈M時，即a²≥4，b²≥4，
∵(

a

2

+

2

b

)2-(

a

b

+1)2=

a2

4

+

4

b2

-

a2

b2

-1=

(a2-4)(b2-4)

4b2

≥0，
∴(

a

2

+

2

b

)2≥(

a

b

+1)2，∴|

a

2

+

2

b

|≥|

a

b

+1|．

點(diǎn)評：本題主要考查絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化和分類討論的數(shù)學(xué)思想，用比較法證明不等式，屬于基礎(chǔ)題．