Question

20．若a＞1，設(shè)函數(shù)f（x）=a^x+x-4的零點(diǎn)是x₁，g（x）=log_ax+x-4的零點(diǎn)為x₂，則$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$的取值范圍是（　　）

• A． [3.5，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． [4，+∞）
• D． [4.5，+∞）

Answer 1

分析 把函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，得到兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系求出x₁，x₂之間的關(guān)系，根據(jù)兩者之和是定值，利用基本不等式得到要求的結(jié)果．

解答 解：函數(shù)f（x）=a^x+x-4的零點(diǎn)是函數(shù)y=a^x與函數(shù)y=4-x圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
函數(shù)g（x）=log_ax+x-4的零點(diǎn)是函數(shù)y=log_ax與函數(shù)y=4-x圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
由于指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，直線y=4-x與直線y=x垂直，
故直線y=4-x與直線y=x的交點(diǎn)（2，2），∴x₁+x₂=4，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{4}（{x}_{1}+{x}_{2}）（\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}）$=$\frac{1}{4}（2+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}）$≥$\frac{1}{4}（2+2\sqrt{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}•\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}）=1$，
當(dāng)x₁=x₂時(shí)等號(hào)成立，而x₁+x₂=4，故當(dāng)x₁=x₂=2時(shí)，$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$≥1，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$的取值范圍是[1，+∞）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)零點(diǎn)、反函數(shù)的性質(zhì)，考查利用基本不等式求最值．根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱性找到兩個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．