Question

12．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系取相同單位，已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρcosθ=0，已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（3$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，且點(diǎn)A在直線l上．
（1）把曲線C₁的極坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程；
（2）求曲線C₁上任意一點(diǎn)到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數(shù)方程ρ²-4ρcosθ=0化為普通方程（x-2）²+y²=4，再化為參數(shù)方程；
（2）直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-6=0，可得圓上的點(diǎn)到直線的距離為：d=$\frac{|2+2cost+2sint-6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2\sqrt{2}sin（t+\frac{π}{4}）-4|}{\sqrt{2}}$≤2+2$\sqrt{2}$，即可求曲線C₁上任意一點(diǎn)到直線l的距離的最大值．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程ρ²-4ρcosθ=0化為普通方程（x-2）²+y²=4，
再化為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cost}\\{y=2sint}\end{array}\right.$，（0≤t＜2π）．（5分）
（2）圓（x-2）²+y²=4，所以圓心為（2，0），
由點(diǎn)（3$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，且點(diǎn)A在直線l上，可得a=3$\sqrt{2}$，
所以直線l的方程可化為ρcosθ+ρsinθ-6=0，從而直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-6=0，（7分）
所以圓上的點(diǎn)到直線的距離為：d=$\frac{|2+2cost+2sint-6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2\sqrt{2}sin（t+\frac{π}{4}）-4|}{\sqrt{2}}$≤2+2$\sqrt{2}$，
所以曲線C₁上任意一點(diǎn)到直線的距離的最大值2+2$\sqrt{2}$．（10分）

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．