Question

5．已知函數(shù)f（x）=log₂（x²-ax+2）．
（1）當(dāng)函數(shù)f（x）在①定義域為R，②值域為R時，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上有定義，且在該區(qū)間的值域為[1，3]，求a的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)函數(shù)f（x）①定義域為R時，x²-ax+2＞0恒成立，故$\frac{8-{a}^{2}}{4}＞0$，解得實數(shù)a的取值范圍；
當(dāng)函數(shù)f（x）在值域為R時，x²-ax+2可以為任意正數(shù)，故$\frac{8-{a}^{2}}{4}≤0$，解得實數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上有定義，且在該區(qū)間的值域為[1，3]，則x²-ax+2＞0在區(qū)間[0，2]上恒成立，且x²-ax+2＞0在區(qū)間[0，2]上的值域為[2，8]，解得a的值．

解答 解：（1）當(dāng)函數(shù)f（x）①定義域為R時，x²-ax+2＞0恒成立，
故$\frac{8-{a}^{2}}{4}＞0$，解得：a∈（-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）；
當(dāng)函數(shù)f（x）在值域為R時，x²-ax+2可以為任意正數(shù)，
故$\frac{8-{a}^{2}}{4}≤0$，解得：a∈（-∞，-2$\sqrt{2}$]∪[2$\sqrt{2}$，+∞）；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上有定義，且在該區(qū)間的值域為[1，3]，
則x²-ax+2＞0在區(qū)間[0，2]上恒成立，且x²-ax+2＞0在區(qū)間[0，2]上的值域為[2，8]，
令g（x）=x²-ax+2，由g（0）=2，函數(shù)圖象開口朝上，
故g（x）在區(qū)間[0，2]上為增函數(shù)，且g（2）=6-2a=8，
解得：a=-1．

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．