Question

14．對于函數(shù)y=f（x），若存在定義域D內(nèi)某個區(qū)間[a，b]，使得y=f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，則稱函數(shù)y=f（x）在定義域D上封閉．如果函數(shù)$f（x）=\frac{kx}{1+|x|}$（k≠0）在R上封閉，那么實數(shù)k的取值范圍是（1，+∞）．

Answer 1

分析 由題意便知方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{kx}{1+|x|}}\\{y=x}\end{array}\right.$至少有兩個解，從而可得到$x（1-\frac{k}{1+|x|}）=0$至少有兩個解，從而有k=1+|x|＞1，這樣即求出k的取值范圍．

解答 解：根據(jù)題意知方程$\frac{kx}{1+|x|}=x$至少有兩個不同實數(shù)根；
即$x（1-\frac{k}{1+|x|}）=0$至少有兩個實數(shù)根；
∴$1-\frac{k}{1+|x|}=0，x≠0$；
∴k=1+|x|＞1；
∴實數(shù)k的取值范圍為（1，+∞）．
故答案為：（1，+∞）．

點評 考查對一個函數(shù)在定義域上封閉的理解，清楚函數(shù)y=x的定義域和值域相同．