Question

6．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=5，且$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{a_n}$（n≥2，n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）令b_n=$\frac{a_n}{{11-2{a_n}}}$，求數(shù)列{b_n}的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）由a₁=5，且$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{a_n}$（n≥2，n∈N^*）．分別令n=2，3，4，即可得出．
（2）設(shè)數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和為S_n，利用遞推關(guān)系可得：$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{a_n}-\frac{2}{{{a_{n-1}}}}$，得$\frac{3}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{a_n}$即$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{3}（{n≥3}）$，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（3）${b_n}=\frac{a_n}{{11-2{a_n}}}=\left\{\begin{array}{l}5（{n=1}）\\ \frac{{10•{{（{\frac{2}{3}}）}^{n-2}}}}{{11-20•{{（{\frac{2}{3}}）}^{n-2}}}}（{n≥2}）\end{array}\right.$，變形利用單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=5，且$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{a_n}$（n≥2，n∈N^*）．
分別令n=2，3，4，可得：
${a_2}=10，{a_3}=\frac{20}{3}，{a_4}=\frac{40}{9}$．
（2）設(shè)數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和為S_n，則${S_{n-1}}=\frac{2}{a_n}（{n≥2}），{S_{n-2}}=\frac{2}{{{a_{n-1}}}}（{n≥3}）$，
∴$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{a_n}-\frac{2}{{{a_{n-1}}}}$，得$\frac{3}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{a_n}$即$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{3}（{n≥3}）$，
∴{a_n}從第二項(xiàng)起成等比數(shù)列，又a₂=10，
∴${a_n}=\left\{\begin{array}{l}5（{n=1}）\\ 10•{（{\frac{2}{3}}）^{n-2}}（{n≥2}）\end{array}\right.$．
（3）${b_n}=\frac{a_n}{{11-2{a_n}}}=\left\{\begin{array}{l}5（{n=1}）\\ \frac{{10•{{（{\frac{2}{3}}）}^{n-2}}}}{{11-20•{{（{\frac{2}{3}}）}^{n-2}}}}（{n≥2}）\end{array}\right.$，
由${b_n}=\frac{{10•{{（{\frac{2}{3}}）}^{n-2}}}}{{11-20•{{（{\frac{2}{3}}）}^{n-2}}}}（{n≥2}）$，
得${b_n}=\frac{10}{{11•{{（{\frac{3}{2}}）}^{n-2}}-20}}（{n≥2}）$，
所以當(dāng)n=3時(shí)，${（{b_n}）_{min}}=-\frac{20}{7}$，
當(dāng)n=4時(shí)${（{b_n}）_{max}}=\frac{40}{19}$，
但${b_1}=5＞\frac{40}{19}$，
綜上所述，${（{b_n}）_{min}}={b_3}=-\frac{20}{7}$，（b_n）_max=b₁=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．