Question

某個公園有個池塘，其形狀為直角△ABC，∠C=90°，AB=200米，BC=100米．現在準備新建造一個荷塘，分別在AB，BC，CA上取點D，E，F，建造△DEF連廊（不考慮寬度）供游客休憩，且使△DEF為正三角形，設求△DEF邊長的最小值．

Answer 1

考點：解三角形的實際應用

專題：應用題,解三角形

分析：設正三角形DEF的邊長為a、∠CEF=α且∠EDB=∠1，將CF和AF用a、α表示出，再用α分別分別表示出∠1和∠ADF，然后利用正弦定理表示a并結合輔角公式化簡，利用正弦函數的值域即可求得a的最小值．

解答： 解：設正△DEF的邊長為a，∠CEF=α
則CF=a•sinα，AF=

3

-a•sinα
設∠EDB=∠1，可得
∠1=180°-∠B-∠DEB=120°-∠DEB，α=180°-60°-∠DEB=120°-∠DEB
∴∠ADF=180°-60°-∠1=120°-α
在△ADF中，

a

sin30°

=

3 -asinα

sin∠ADF

，
化簡得a[2sin（120°-α）+sinα]=

3

∴a=

3

2sinα+ 3 cosα

=

3

7 sin(α+φ)

≥

21

7

（其中φ是滿足tanφ=

3

2

的銳角）
∴△DEF邊長最小值為

21

7

．

點評：本題著重考查了解直角三角形、正弦定理和三角恒等變換等知識，考查了在實際問題中建立三角函數模型能力，屬于中檔題．