考點:二次函數(shù)的性質(zhì),一元二次不等式的解法
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)根據(jù)已知條件即可得到1是方程x
2+(b-1)x+c+2=0的二重根,所以由韋達定理即可求出b,c,從而解出不等式f(x)>1;
(2)①先由-3∈A便容易得到c=3b-14,而根據(jù)韋達定理及求根公式可得到
,所以
+==
=-,所以聯(lián)立c=3b-14即可求出b=2,c=-8;
②根據(jù)條件即知f(x)在[-2,2]上的值域是g(x)在[-2,2]上的子集,容易求出f(x)在[-2,2]上的值域為[-9,0].換元,令2
-x=t,t
∈[,4],所以得到一個關(guān)于t二次函數(shù)h(t)=t
2-mt-9,所以根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及取得頂點情況討論m的取值,求出每個m取值下的h(t)的值域,使該值域包含區(qū)間[-9,0],從而能得到m的取值范圍.
解答:
解:(1)A={x|x
2+(b-1)x+c+2=0};
∵A={1};
∴1是方程x
2+(b-1)x+c+2=0的二重根;
∴
;
∴b=-1,c=-1;
∴由f(x)>1得,x
2-x-2>0,解得:x<-1,或x>2;
∴f(x)>1的解為{x|x<-1,或x>2};
(2)①-3∈A;
∴-3b+c+14=0;
∴c=3b-14;
x
1,x
2是方程f(x)=0的兩個根;
∴
;
∴
+===
-;
整理成:
±3=5b-c;
∴將c=3b-14帶入上式可得,±
3=2b+14;
∴對上式兩邊平方并整理可得:5b
2-164b+308=0;
解得b=2,或
(舍去);
∴c=-8;
②f(x)=x
2+2x-8;
由②中的條件知,f(x)在[-2,2]上的值域是g(x)在[-2,2]上值域的子集;
f(x)=(x+1)
2-9;
∴f(x)在[-2,2]上的值域為[f(-1),f(2)]=[-9,0];
設(shè)
2-x=t(t∈[,4]),h(t)=t
2-mt-9;
∴函數(shù)h(t)的對稱軸為t=
;
(一)若
<,即
m<,h(t)在
[,4]上單調(diào)遞增;
∴h(t)在
[,4]上的值域為
[h(),h(4)]=[-m-,-4m+7];
∴
,解得
≤m≤;
∴
≤m<;
(二)若
≤≤4,即
≤m≤2,則:h(
),h(4)中必有一個為h(t)在
[,4]上的最大值,最小值為h(
)=
--9;
顯然最小值
--9≤-9,所以只需滿足
-m-≥0,或-4m+7≥0;
∴
m≤,或m≤-(舍去);
∴
≤m≤;
(三)若
>4,即m>8,h(t)在
[,4]上單調(diào)遞減;
∴h(t)的值域為[h(4),h(
)]=[
-4m+7,-m-];
∴
;
解得m∈∅;
∴綜上得m的取值范圍為
[,].
點評:考查描述法表示集合,韋達定理,以及解一元二次不等式,一元二次方程的求根公式,換元法求函數(shù)的值域,二次函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)在閉區(qū)間上值域的求法.