Question

1．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足$x+\frac{y}{4}=1$．
（1）若|7-y|＜|2x|+3，求x的取值范圍；
（2）若x＞0，y＞0，求證：$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}-\sqrt{xy}≥3$．

Answer 1

分析 （1）$x+\frac{y}{4}=1$，可得y=4-4x，代入|7-y|＜|2x|+3，可得|4x+3|-|2x|＜3，對(duì)x分類討論即可得出．
（2）由x＞0，y＞0，可得$1=x+\frac{y}{4}≥2\sqrt{x•\frac{y}{4}}=\sqrt{xy}$，即$-\sqrt{xy}≥-1$．利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)可得$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$的最小值．

解答 （1）解：∵$x+\frac{y}{4}=1$，∴y=4-4x，
則由|7-y|＜|2x|+3⇒|4x+3|-|2x|＜3，
當(dāng)$x＜-\frac{3}{4}$時(shí)，由|4x+3|-|2x|＜3得x＞-3，則$-3＜x＜-\frac{3}{4}$；
當(dāng)$-\frac{3}{4}≤x≤0$時(shí)，由|4x+3|-|2x|＜3得x＜0，則$-\frac{3}{4}≤x＜0$；
當(dāng)x＞0時(shí)，由|4x+3|-|2x|＜3得x＜0，解集為ϕ；
綜上，x的取值范圍是（-3，0）．
（2）證明：∵x＞0，y＞0，
∴$1=x+\frac{y}{4}≥2\sqrt{x•\frac{y}{4}}=\sqrt{xy}$，
即$-\sqrt{xy}≥-1$，當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{y}{4}=\frac{1}{2}$時(shí)等號(hào)成立．
又$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=（\frac{1}{x}+\frac{4}{y}）（x+\frac{y}{4}）=2+\frac{y}{4x}+\frac{4x}{y}≥4$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{y}{4x}=\frac{4x}{y}$，即$x=\frac{y}{4}=\frac{1}{2}$時(shí)等號(hào)成立，
∴$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}-\sqrt{xy}≥3$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．