Question

9．已知a＞0，${（\frac{a}{{\sqrt{x}}}-x）^6}$展開式的常數(shù)項為240，則$\int_{-a}^a{（{x^2}+xcosx+\sqrt{4-{x^2}}）dx}$=2π+$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 運用二項式展開式的通項公式，可得常數(shù)項，解方程可得a=2，再由奇函數(shù)的積分為0，以及積分的幾何意義可得所求值．

解答 解：a＞0，${（\frac{a}{{\sqrt{x}}}-x）^6}$展開式的常數(shù)項為240，
可得T_r+1=${C}_{6}^{r}$（$\frac{a}{\sqrt{x}}$）^6-r（-x）^r=${C}_{6}^{r}$a^6-r（-1）^rx${\;}^{\frac{3r-6}{2}}$，
由$\frac{3r-6}{2}$=0，可得r=2，
即有${C}_{6}^{2}$a⁴（-1）²=240，
解得a=2（-2舍去）．
則$\int_{-a}^a{（{x^2}+xcosx+\sqrt{4-{x^2}}）dx}$=${∫}_{-2}^{2}$（x²+xcosx+$\sqrt{4-{x}^{2}}$）dx，
由y=xcosx為奇函數(shù)，且奇函數(shù)的積分為0，即=${∫}_{-2}^{2}$xcosxdx=0，
由${∫}_{-2}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx表示以O(shè)為圓心，2為半徑的上半圓的面積，可得
${∫}_{-2}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=$\frac{1}{2}$×4π=2π，
又${∫}_{-2}^{2}$x²dx=$\frac{1}{3}$x³|${\;}_{-2}^{2}$=$\frac{8}{3}$+$\frac{8}{3}$=$\frac{16}{3}$．
則${∫}_{-2}^{2}$（x²+xcosx+$\sqrt{4-{x}^{2}}$）dx=2π+$\frac{16}{3}$．
故答案為：2π+$\frac{16}{3}$．

點評 本題考查二項式定理的運用：求特定項，考查定積分的計算，注意運用定積分的性質(zhì)和幾何意義，考查運算能力，屬于中檔題．