Question

6．設函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上的導函數(shù)為f′（x），f′（x）在區(qū)間（a，b）上的導函數(shù)為f″（x），若區(qū)間（a，b）上f″（x）＞0，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凹函數(shù)”，已知f（x）=$\frac{1}{20}$x⁵-$\frac{1}{12}$mx⁴-2x²在（1，3）上為“凹函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，$\frac{23}{9}$]
• B． （-∞，-3）
• C． （-∞，-3]
• D． （-3，$\frac{23}{9}$）

Answer 1

分析 f（x）=$\frac{1}{20}$x⁵-$\frac{1}{12}$mx⁴-2x²在（1，3）上為“凹函數(shù)”，所以f″（x）＞0，即對函數(shù)y=f（x）二次求導，轉化為不等式問題解決即可．

解答 解：由函數(shù)f（x）=$\frac{1}{20}$x⁵-$\frac{1}{12}$mx⁴-2x²得，f″（x）=x³-mx²-4，
∵f（x）為區(qū)間（1，3）上“凹函數(shù)”，
∴有f″（x）=x³-mx²-4＞0在區(qū)間（1，3）上恒成立，
∴m＜x-$\frac{4}{{x}^{2}}$在區(qū)間（1，3）上恒成立，
設y=x-$\frac{4}{{x}^{2}}$，則y′=1+$\frac{8}{{x}^{3}}$＞0，
∴y=x-$\frac{4}{{x}^{2}}$在區(qū)間（1，3）上單調(diào)遞增，
∴m≤1-4=-3，
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)與不等式恒成立問題的解法，關鍵是要理解題目所給信息（新定義），考查知識遷移與轉化能力，屬于中檔題．