Question

17．已知M為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{a}$-y²=1（a＞0）上任意一點(diǎn)，O為原點(diǎn)，過點(diǎn)M做雙曲線兩漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于A，B兩點(diǎn)．若平行四邊形MAOB的面積為2，則a=16．

Answer 1

分析 求出|OA|，M點(diǎn)到OA的距離，利用平行四邊形MAOB的面積為2，求出a．

解答 解：雙曲線的漸近線方程是：x±$\sqrt{a}$y=0，設(shè)M（m，n）是雙曲線上任一點(diǎn)，
過M平行于OB：x+$\sqrt{a}$y=0的方程是：x+$\sqrt{a}$y-m-$\sqrt{a}$n=0，
聯(lián)立x-$\sqrt{a}$y=0，得兩直線交點(diǎn)A（$\frac{m}{2}+\frac{\sqrt{a}n}{2}$，$\frac{m}{2\sqrt{a}}+\frac{n}{2}$），
|OA|=（$\frac{m}{2}+\frac{\sqrt{a}n}{2}$）$\sqrt{1+\frac{1}{a}}$，
M點(diǎn)到OA的距離是：d=$\frac{|m-\sqrt{a}n|}{\sqrt{1+a}}$，
∵|OA|•d=2，
∴（$\frac{m}{2}+\frac{\sqrt{a}n}{2}$）$\sqrt{1+\frac{1}{a}}$•$\frac{|m-\sqrt{a}n|}{\sqrt{1+a}}$=2，
∴m²-an²=4$\sqrt{a}$，
∵m²-an²=a，
∴a=16．
故答案為：16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．