【題目】已知直線l1:(1+4k)x﹣(2﹣3k)y+(2﹣14k)=0,圓C:x2+y2﹣6x﹣8y+9=0.
(1)判斷直線l1與圓的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)直線l2過直線l1的定點且l1⊥l2 , 若l1與圓C交與A,B兩點,l2與圓C交與E,F(xiàn)兩點,求AB+EF的最大值.

【答案】
(1)解:直線與圓相交

證明:直線方程可整理為(x﹣2y+2)+(4x+3y﹣14)k=0

所以 解得

所以直線過定點P(2,2)

圓C方程可整理為(x﹣3)2+(y﹣4)2=16

因為圓心C到點P(2,2)的距離d為

,所以直線與圓C相交


(2)解:設(shè)點C到直線AB,EF的距離分別為d1,d2(d1,d2≥0)

所以

=

=

=

又因為

所以 (當(dāng)且僅當(dāng) 時取到等號)

所以

所以

所以

所以AB+EF的最大值為


【解析】(1)直線方程可整理為(x﹣2y+2)+(4x+3y﹣14)k=0,可得直線過定點;求出圓心C到點P(2,2)的距離,與半徑比較,可得可得直線l1與圓的位置關(guān)系;(2) ,利用基本不等式,即可求AB+EF的最大值.

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