Question

16．過拋物線y²=4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B（A在第一象限） 兩點，O為坐標原點，若△AOB的面積為$2\sqrt{2}$，則$\frac{{|{AF}|}}{{|{BF}|}}$的值為（　　）

• A． $2±\sqrt{2}$
• B． $3±2\sqrt{2}$
• C． $4±2\sqrt{3}$
• D． $4±2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點，設直線l為x=my+1，代入拋物線方程，運用韋達定理和向量的坐標表示，解得m，再由三角形的面積公式，計算即可得到．

解答 解：拋物線y²=4x的焦點為（1，0），
設直線l為x=my+1，代入拋物線方程可得y²-4my-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
設$\overline{AF}$=t$\overrightarrow{FB}$，可得y₁=-ty₂，
由代入法，可得y₁=-$\frac{4mt}{1-t}$，y₂=$\frac{4m}{1-t}$，m²=$\frac{（1-t）^{2}}{4t}$
∵△AOB的面積為$2\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}•1•$|-$\frac{4mt}{1-t}$-$\frac{4m}{1-t}$|=$2\sqrt{2}$，
化簡可得t²-6t+1=0，
∴t=3±2$\sqrt{2}$，
故選：B．

點評 本題考查直線和拋物線的位置關系的綜合應用，主要考查韋達定理和向量的共線的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題．