Question

7．已知一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為4；表面積為12+3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由三視圖可知該幾何體為：用平面EFGHMN截邊長(zhǎng)為2的正方體所得到的幾何體，由正方體的性質(zhì)求出正六邊形的邊長(zhǎng)，由正六邊形的性質(zhì)求出正六邊形的面積、正六棱錐的高，由直觀圖和椎體的體積公式求出該幾何體的體積、表面積．

解答 解：由三視圖可知該幾何體為：
用平面EFGHMN截邊長(zhǎng)為2的正方體所得到的幾何體，
直觀圖如圖所示：
其中六邊形EFGHMN是正六邊形，邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，
則六邊形EFGHMN的面積是$6×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$3\sqrt{3}$，
∵由圖得，正方體截去3個(gè)相同的三棱錐：C-BEF、C-DMN、C-GHC′，
一個(gè)正六棱錐C-EFGHMN，側(cè)棱長(zhǎng)是$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
高是$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴該幾何體的體積V=$2×2×2-3×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×2$-$\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×\sqrt{3}$
=8-1-3=4，
由圖得，幾何體的上下面積之和，前后面積之和，左右面積之和均為正方體的一個(gè)面的面積．
∴該幾何體的表面積：S=2²×3+$3\sqrt{3}$=12+3$\sqrt{3}$，
故答案為：4；12+3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查由三視圖求幾何體的體積以及表面積，正六邊形的面積、正六棱錐的高求法，由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．