Question

1．已知各項為正數(shù)的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=3，a₂•a₃=S₅．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{1}{{{S_n}-n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可知根據(jù)等差數(shù)列通項公式及性質：（3+d）（3+2d）=5（3+2d），求得d，即可求得其通項公式；
（2）根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式求得S_n，求得b_n，采用“裂項法”即可求得數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）設{a_n}的公差為d，由a₂•a₃=S₅，即（3+d）（3+2d）=5（3+2d），
解得d=2或$d=-\frac{3}{2}$（舍去），
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n+1，
數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2n+1；
（2）由（1）可知：S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=n（n+2），
b_n=$\frac{1}{{{S_n}-n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=1-$\frac{1}{n+1}$，
=$\frac{n}{n+1}$
數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，T_n=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求解，解題時要認真審題，注意“裂項法”的合理運用，注意解題方法的積累，屬于中檔題．