Question

1．如圖，過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F作直線與拋物線及其準(zhǔn)線分別交于A，B，C三點(diǎn)，若$\overrightarrow{FC}$=4$\overrightarrow{FB}$，則$|{\overrightarrow{AB}}|$=$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 分別過A，F(xiàn)，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A₁，D，B₁，利用相似三角形計(jì)算BB₁，AA₁即可得出AB=AA₁+BB₁．

解答 解：分別過A，F(xiàn)，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A₁，D，B₁，
則DF=p=2，由拋物線的定義可知BF=BB₁，AF=AA₁，
∵$\overrightarrow{FC}$=4$\overrightarrow{FB}$，∴$\frac{DF}{B{B}_{1}}=\frac{FC}{BC}=\frac{4}{3}$，∴BF=BB₁=$\frac{3}{2}$．
∴CF=4FB=6，
∴cos∠DFC=$\frac{DF}{CF}=\frac{1}{3}$，
∴cos∠A₁AC=$\frac{A{A}_{1}}{AC}$=$\frac{AF}{AF+6}$=$\frac{1}{3}$，解得AF=3，
∴AB=AF+BF=3+$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$．
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題．