Question

1．設A₁，A₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長軸的兩個端點，P₁，P₂是垂直于x軸的直線與此橢圓的兩個交點，M為直線A₁P₁與A₂P₂的交點，求證：點M的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1．

Answer 1

分析 如圖所示，設直線P₁P₂的方程為：x=m（-a＜m＜a）．把x=m代入橢圓方程可得：y=$±\frac{a}\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}$．直線A₁P₁與A₂P₂的方程分別為：y=$\frac{b\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}}{a（m+a）}$（x+a），y=$\frac{b\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}}{a（a-m）}$（x-a），相乘消去m即可證明．

解答 證明：如圖所示，
A₁（-a，0），A₂（a，0）．
設直線P₁P₂的方程為：x=m（-a＜m＜a）．
把x=m代入橢圓方程可得：y=$±\frac{a}\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}$．
不妨取P₁$（m，\frac{b\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}}{a}）$，P₂$（m，-\frac{b\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}}{a}）$．
直線A₁P₁與A₂P₂的方程分別為：y=$\frac{b\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}}{a（m+a）}$（x+a），y=$\frac{b\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}}{a（a-m）}$（x-a），
相乘消去m化為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1．
∴點M的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1．

點評 本題考查了橢圓與雙曲線的標準方程及其性質、直線的交點軌跡，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．