Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{kx}}{{4}^{x}+1}$，g（x）=$\frac{3-m}{m•{2}^{x}+2\sqrt{2}}$，且f（x）為偶函數(shù)．
（1）求實數(shù)k的值；
（2）若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象恰好有一個公共點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)偶函數(shù)可知f（x）=f（-x），取x=-1代入即可求出k的值；
（2）函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，則方程f（x）=g（x）有且只有一個實根，化簡可得$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$=$\frac{3-m}{m•{2}^{x}+2\sqrt{2}}$有且只有一個實根，令t=2^x＞0，則轉化成方程$（2m-3）t+2\sqrt{2}t+m-3=0$有且只有一個正根，討論m=$\frac{3}{2}$，以及△=0與一個正根和一個負根，三種情形，即可求出實數(shù)m的取值范圍

解答 解：（1）由f（x）=f（-x）得到：f（-1）=f（1）⇒$\frac{{2}^{k}}{{4}^{\;}+1}$=$\frac{{2}^{-k}}{\frac{1}{4}+1}$，
解得：k=1，
（2）函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點
即方程$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$=$\frac{3-m}{m•{2}^{x}+2\sqrt{2}}$有且只有一個實根
化簡得：方程$（2m-3）{4}^{x}+2\sqrt{2}•{2}^{x}+m-3=0$有且只有一個實根
令t=2^x＞0，則方程$（2m-3）t+2\sqrt{2}t+m-3=0$有一個正根
①m=$\frac{3}{2}$⇒t=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，符合題意；
②△=0⇒m=1或$\frac{7}{2}$，
若m=1⇒t=$\sqrt{2}$，符合題意；若m=$\frac{7}{2}$⇒t=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，不符合題意，
③若一個正根和一個負根，則△＞0且t₁•t₂＜0，
即1＜m＜$\frac{7}{2}$，且$\frac{3}{2}$＜m＜3，
即$\frac{3}{2}$＜m＜3時，滿足題意．
所以實數(shù)a的取值范圍為{m|$\frac{3}{2}$≤m＜3或m=1}

點評 本題主要考查了偶函數(shù)的性質，以及對數(shù)函數(shù)圖象與性質的綜合應用，同時考查了分類討論的思想，屬于中檔題．