Question

16．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為${S_n}={n^2}$，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且${a_1}=2{b_1}，{\;}^{\;}{b_1}{b_2}=\frac{1}{8}$．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，能求出a_n=2n-1，從而$_{1}=\frac{1}{2}$，$_{2}=\frac{1}{4}$，由此能求出$_{n}=\frac{1}{{2}^{n}}$．
（2）由${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{2n-1}{\frac{1}{{2}^{n}}}$=（2n-1）•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為${S_n}={n^2}$，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，
綜上a_n=2n-1，
∵數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且${a_1}=2{b_1}，{\;}^{\;}{b_1}{b_2}=\frac{1}{8}$，
∴$_{1}=\frac{1}{2}$，$_{2}=\frac{1}{4}$，∴q=$\frac{1}{2}$，
∴$_{n}=\frac{1}{{2}^{n}}$．
（2）${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{2n-1}{\frac{1}{{2}^{n}}}$=（2n-1）•2ⁿ，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和：
T_n=1×2+3×2²+…+（2n-1）•2ⁿ，
2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
兩式相減得：
-T_n=2+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=2+$\frac{8（1-{2}^{n-2}）}{1-2}$-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=-6-（2n-3）×2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）×2ⁿ⁺¹+6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．