Question

2．已知點(diǎn)$P（\sqrt{2}，1）$和橢圓C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．
（Ⅰ）設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，試求△PF₁F₂的周長(zhǎng)及橢圓的離心率；
（Ⅱ）若直線l：$\sqrt{2}x-2y+m=0（m≠0）$與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，直線PA，PB與x軸分別交于M，N兩點(diǎn)，求證：|PM|=|PN|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓的方程，求出a，b，c．通過(guò)橢圓的定義求解三角形的周長(zhǎng)，求解橢圓的離心率．
（Ⅱ）聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x-2y+m=0}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1}\end{array}}\right.$，利用直線l與橢圓C有兩個(gè)交點(diǎn)，求出-4＜m＜0或0＜m＜4．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），結(jié)合韋達(dá)定理，求解AB坐標(biāo)，設(shè)直線PA與PB的斜率分別為k₁，k₂，推出k₁+k₂=0，即可證明|PM|=|PN|．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知，a²=4，b²=2，所以c²=2．
因?yàn)?P（\sqrt{2}，1）$是橢圓C上的點(diǎn)，由橢圓定義得|PF₁|+|PF₂|=4．
所以△PF₁F₂的周長(zhǎng)為$4+2\sqrt{2}$．
易得橢圓的離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（4分）
（Ⅱ）證明：由$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x-2y+m=0}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1}\end{array}}\right.$得$4{x^2}+2\sqrt{2}mx+{m^2}-8=0$．
因?yàn)橹本�l與橢圓C有兩個(gè)交點(diǎn)，并注意到直線l不過(guò)點(diǎn)P，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{8{m^2}-4×4（{m^2}-8）＞0}\\{m≠0}\end{array}}\right.$解得-4＜m＜0或0＜m＜4．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}m$，${x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-8}}{4}$，${y_1}=\frac{{\sqrt{2}{x_1}+m}}{2}$，${y_2}=\frac{{\sqrt{2}{x_2}+m}}{2}$．
顯然直線PA與PB的斜率存在，設(shè)直線PA與PB的斜率分別為k₁，k₂，
則${k_1}+{k_2}=\frac{{{y_1}-1}}{{{x_1}-\sqrt{2}}}+\frac{{{y_2}-1}}{{{x_2}-\sqrt{2}}}$=$\frac{{（\frac{{\sqrt{2}{x_1}+m}}{2}-1）（{x_2}-\sqrt{2}）+（\frac{{\sqrt{2}{x_2}+m}}{2}-1）（{x_1}-\sqrt{2}）}}{{（{x_1}-\sqrt{2}）（{x_2}-\sqrt{2}）}}$
=$\frac{{（\sqrt{2}{x_1}+m-2）（{x_2}-\sqrt{2}）+（\sqrt{2}{x_2}+m-2）（{x_1}-\sqrt{2}）}}{{2（{x_1}-\sqrt{2}）（{x_2}-\sqrt{2}）}}$
=$\frac{{2\sqrt{2}{x_1}{x_2}+（m-4）（{x_1}+{x_2}）-2\sqrt{2}m+4\sqrt{2}}}{{2[{x_1}{x_2}-\sqrt{2}（{x_1}+{x_2}）+2]}}$
=$\frac{{\frac{{2\sqrt{2}（{m^2}-8）}}{4}-\frac{{（m-4）2\sqrt{2}m}}{4}-\frac{{8\sqrt{2}m}}{4}+\frac{{16\sqrt{2}}}{4}}}{{2[{x_1}{x_2}-\sqrt{2}（{x_1}+{x_2}）+2]}}$
=$\frac{{2\sqrt{2}（{m^2}-8）-（m-4）2\sqrt{2}m-8\sqrt{2}m+16\sqrt{2}}}{{8[{x_1}{x_2}-\sqrt{2}（{x_1}+{x_2}）+2]}}$
=$\frac{{2\sqrt{2}{m^2}-16\sqrt{2}-2\sqrt{2}{m^2}+8\sqrt{2}m-8\sqrt{2}m+16\sqrt{2}}}{{8[{x_1}{x_2}-\sqrt{2}（{x_1}+{x_2}）+2]}}=0$．
因?yàn)閗₁+k₂=0，所以∠PMN=∠PNM．
所以|PM|=|PN|．       …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．