Question

2．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=3a_n+1（n∈N*），則數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=$\frac{1}{4}$（3ⁿ⁺¹-2n-3）．

Answer 1

分析 可設a_n+1+t=3（a_n+t），求得t=$\frac{1}{2}$，運用等比數(shù)列的通項公式，可得數(shù)列{a_n}的通項，再由數(shù)列的求和方法：分組求和，結合等比數(shù)列的求和公式，化簡即可得到所求和．

解答 解：由a₁=1，a_n+1=3a_n+1，
可設a_n+1+t=3（a_n+t），
即a_n+1=3a_n+2t，可得2t=1，即t=$\frac{1}{2}$，
則a_n+1+$\frac{1}{2}$=3（a_n+$\frac{1}{2}$），
可得數(shù)列{a_n+$\frac{1}{2}$}是首項為$\frac{3}{2}$，公比為3的等比數(shù)列，
即有a_n+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$•3^n-1，
即a_n=$\frac{3}{2}$•3^n-1-$\frac{1}{2}$，
可得數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=$\frac{3}{2}$（1+3+3²+…+3^n-1）-$\frac{1}{2}$n
=$\frac{3}{2}$•$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$-$\frac{1}{2}$n=$\frac{1}{4}$（3ⁿ⁺¹-2n-3）．
故答案為：$\frac{1}{4}$（3ⁿ⁺¹-2n-3）．

點評 本題考查數(shù)列的求和方法：分組求和，同時考查構造等比數(shù)列求數(shù)列通項公式的方法，考查運算能力，屬于中檔題．