Question

12．已知直線l₁：3x+4ay-2=0（a＞0），l₂：2x+y+2=0．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，直線l過l₁與l₂的交點(diǎn)，且垂直于直線x-2y-1=0，求直線l的方程；
（2）求點(diǎn)M（$\frac{5}{3}$，1）到直線l₁的距離d的最大值．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立兩個(gè)直線解析式先求出l₁和l₂的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用直線與直線x-2y-1=0垂直，根據(jù)斜率乘積為-1得到直線l的斜率，寫出直線l方程即可；
（2）由直線l₁過定點(diǎn)，把點(diǎn)M到直線l₁的距離d的最大值轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離求解．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，直線l₁：3x+4y-2=0，l₂：2x+y+2=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{3x+4y-2=0}\\{2x+y+2=0}\end{array}\right.$，解得交點(diǎn)（-2，2）．
又由直線l垂直于直線x-2y-1=0，則直線x-2y-1=0的斜率${k}_{3}=\frac{1}{2}$，
∵兩直線垂直得斜率乘積為-1，
得到k_l=-2．
∴直線l的方程為y-2=-2（x+2），即2x+y+2=0．
（2）直線l₁：3x+4ay-2=0（a＞0）過定點(diǎn)N（$\frac{2}{3}，0$），
又M（$\frac{5}{3}，1$），
∴點(diǎn)M到直線l₁的距離d的最大值為|MN|=$\sqrt{（\frac{5}{3}-\frac{2}{3}）^{2}+（1-0）^{2}}=\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，考查直線方程的點(diǎn)斜式，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．