Question

11．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d（0＜d＜2π）的等差數(shù)列，若數(shù)列{sina_n}是等比數(shù)列，則其公比為（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． ±1
• D． 2

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁，公差為d（0＜d＜2π）的等差數(shù)列，a_n=a₁+（n-1）d，由于數(shù)列{sina_n}是等比數(shù)列，可得n≥2，$\frac{sin[{a}_{1}+nd]}{sin[{a}_{1}+（n-1）d]}$=$\frac{sin（{a}_{1}+d）}{sin{a}_{1}}$，利用積化和差與和差化積即可得出．

解答 解：數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁，公差為d（0＜d＜2π）的等差數(shù)列，
∴a_n=a₁+（n-1）d，
∵數(shù)列{sina_n}是等比數(shù)列，
∴n≥2，$\frac{sin[{a}_{1}+nd]}{sin[{a}_{1}+（n-1）d]}$=$\frac{sin（{a}_{1}+d）}{sin{a}_{1}}$，
∴sina₁sin（a₁+nd）=sin（a₁+d）sin[a₁+（n-1）d]，
積化和差得cos（2a₁+nd）-cosnd=cos（2a₁+nd）-cos（n-2）d，
∴cos（n-2）d-cosnd=0，
和差化積得2sin[（n-1）d]sind=0，對(duì)任意的正整數(shù)n都成立，
∴sind=0，0＜d＜2π，
∴d=π．
由①，公比q=-1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、三角函數(shù)和差化積，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．