Question

3．已知數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=5-n，其前n項和為S_n，將數(shù)列{a_n}的前4項抽去其中一項后，剩下三項按原來順序恰為等比數(shù)列{b_n}的前3項，記{b_n}的前n項和為T_n，若存在m∈N^*，使對任意n∈N^*，總有S_n＜T_n+λ恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍是（　�。�

• A． λ≥2
• B． λ＞3
• C． λ≥3
• D． λ＞2

Answer 1

分析 通過a_n=5-n可求出T_n=8（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）、S_n=$\frac{n（9-n）}{2}$，利用4≤T_n＜8及S_n≤10，結(jié)合題意可知10＜8+λ，進而計算可得結(jié)論．

解答 解：∵a_n=5-n，
∴a₁=4，a₂=3，a₃=2，a₄=1，
則b₁=a₁=4，b₂=a₃=2，b₃=a₄=1，
∴數(shù)列{b_n}是首項為4、公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
∴T_n=$\frac{4（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=8（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），
∴4≤T_n＜8，
又∵S_n=$\frac{n（4+5-n）}{2}$=$\frac{n（9-n）}{2}$，
∴當n=4或n=5時，S_n取最大值10，
∵存在m∈N^*，使對任意n∈N^*，總有S_n＜T_n+λ恒成立，
∴10＜8+λ，即λ＞2，
故選：D．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．