Question

12．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cost}\\{y=\sqrt{2}sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），C在點(diǎn)（1，1）處的切線為l，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求l的極坐標(biāo)方程；
（2）過點(diǎn)M（-$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）任作一條直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出C的普通方程，根據(jù)圓的切線的性質(zhì)求出切線的斜率，得出切線方程；
（2）根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可知當(dāng)AB垂直過M的直徑時(shí)，AB最短．利用垂徑定理計(jì)算|AB|．

解答 解：（1）曲線C的普通方程為x²+y²=2，∴曲線C的圓心為O（0，0）．
設(shè)P（1，1），則k_PO=1，∴切線l的斜率為-1．
∴直線l的方程為y-1=-（x-1），即x+y-2=0．
∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ-2=0．
（2）∵（-$\frac{1}{4}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{4}$）²=$\frac{1}{4}＜2$，
∴M在圓C內(nèi)部．
∴當(dāng)AB⊥OM時(shí)，|AB|最�。�
∵|OM|=$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$，∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-|O{M|}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
∴|AB|的最小值為$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．