Question

7．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n=2a_n-1+2^n-1（n＞2，且n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)遞推關(guān)系式符合a_n=pa_n-1+q（p、q為常數(shù)）的形式，利用構(gòu)造新數(shù)列的方法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和求出結(jié)果．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n=2a_n-1+2^n-1（n＞2，且n∈N^*）
則：設(shè)（a_n-k）=2（a_n-1-k），
整理得：a_n=2a_n-1-k，
所以：-k=2^n-1
即：k=-2^n-1
所以：數(shù)列{${a}_{n}+{2}^{n-1}$}是以${a}_{1}+{2}^{1-1}$為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
由于a₁=2，
則：${a}_{n}+{2}^{n-1}=3•{2}^{n-1}$．
由于a₁=2，
所以：${a}_{n}=2•{2}^{n-1}$=2ⁿ．
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：${a}_{n}={2}^{n}$．
（2）由于有（1）得：${a}_{n}={2}^{n}$，
T_n=a₁+a₂+…+a_n
=2¹+2²+…+2ⁿ
=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}={2}^{n+1}-2$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：利用構(gòu)造新數(shù)列法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的求法．