Question

 (1)在等差數(shù)列{a_n}中，已知a₁＝20，前n項(xiàng)和為S_n，且S₁₀＝S₁₅，求當(dāng)n取何值時(shí)，S_n有最大值，并求出它的最大值．

(2)已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n＝4n－25，求數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

解：(1)由a₁＝20，S₁₀＝S₁₅，解得公差d＝－.

∵S₁₀＝S₁₅，∴S₁₅－S₁₀＝a₁₁＋a₁₂＋a₁₃＋a₁₄＋a₁₅＝0.

∵a₁₁＋a₁₅＝a₁₂＋a₁₄＝2a₁₃，∴a₁₃＝0，

又∵a₁>0，

∴a₁、a₂、…、a₁₁、a₁₂均為正數(shù)，而a₁₄及以后各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)．

∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，S_n有最大值，為S₁₂＝S₁₃＝130.

(2)∵a_n＝4n－25，a_n＋1＝4(n＋1)－25，

∴a_n＋1－a_n＝4＝d，又a₁＝4×1－25＝－21.

所以數(shù)列{a_n}是以－21為首項(xiàng)，以4為公差的遞增的等差數(shù)列，

令

由①得n<6；由②得n≥5，所以n＝6.

即數(shù)列{|a_n|}的前6項(xiàng)是以21為首項(xiàng)，公差為－4的等差數(shù)列，從第7項(xiàng)起以后各項(xiàng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，

而|a₇|＝a₇＝4×7－24＝3.

設(shè){|a_n|}的前n項(xiàng)和為T_n，則