Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB=2，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．
（1）求三棱錐D-BAC的體積；
（2）求證：AF∥平面BCE；
（3）求二面角B-CD-A的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知條件得S△ACD=

3

4

×4=

3

，由線面垂直得BA是三棱錐B-ACD的高，且BA=1，由此能求出三棱錐D-BAC的體積．
（2）取CE的中點(diǎn)為H，連接BH，F(xiàn)H，由已知條件推導(dǎo)出四邊形BHFA是平行四邊形，由此能證明AF∥平面BCE．
（3）連接BD，由已知條件推導(dǎo)出∠BFA就是二面角B-CD-A的平面角，由此能求出二面角B-CD-A的大小．

解答： （本小題滿分14分）
（1）解：∵△ACD為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2，
∴S△ACD=

3

4

×4=

3

…（1分）
∵AB⊥平面ACD，∴BA是三棱錐B-ACD的高，且BA=1，
∴VB-ACD=

1

3

×

3

×1=

1

3

3

，…（3分）
∴VD-ACB=VB-ACD=

1

3

3

．
∴三棱錐D-BAC的體積為

1

3

3

．…（4分）
（2）證明：取CE的中點(diǎn)為H，連接BH，F(xiàn)H，
∵F為CD的中點(diǎn)，∴FH∥ED且FH=

1

2

ED…（5分）
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB=

1

2

ED，
∴FH∥AB，且FH=AB…（6分）
∴四邊形BHFA是平行四邊形，即BH∥FA…（7分）
∵BH?平面BCE，F(xiàn)A?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．…（8分）
（3）連接BD，在等邊三角形△ACD中，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，∴AF⊥CD，…（9分）
∵AB⊥平面ACD，∴∠BAD=90°∵AD=2，BA=1，
由勾股定理得BD=

5

．
同理可得BC=

5

，∴BC=BD，∵F為CD的中點(diǎn)，∴BF⊥CD…（11分）
∴∠BFA就是二面角B-CD-A的平面角…（12分）
則tan∠BFA=

BA

AF

=

1

3

=

3

3

，…（13分）
∴二面角B-CD-A的大小為

π

6

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三棱錐體積的求法，考查直線與平面平行的證明，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．