Question

14．已知數(shù)列{a_n}滿足：${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+2}}$，a₁=1，則a₂₀₁₇=$\frac{2}{2017}$．

Answer 1

分析 關(guān)系式的倒數(shù)，得到新數(shù)列是等差數(shù)列，然后求解通項(xiàng)公式，求解即可．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，滿足：${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+2}}$，則 $\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{{a}_{n}+2}{2{a}_{n}}$⇒$\frac{2}{{a}_{n+1}}-\frac{2}{{a}_{n}}=1$
可得數(shù)列{$\frac{2}{{a}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，∴$\frac{2}{{a}_{n}}=1+（n-1）×1=n$，即${a}_{2017}=\frac{2}{2017}$
∴${a}_{n}=\frac{2}{n}$．
故答案為：$\frac{2}{2017}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法--取到數(shù)法，考查計(jì)算能力．