橢圓的左焦點為，直線與橢圓相交于點、，當的周長最大時，的面積是____________．

試題分析：設橢圓的右焦點為E．如圖：

由橢圓的定義得：△FAB的周長：AB+AF+BF=AB+（4a-AE）+（4a-BE）=8a+AB-AE-BE；
∵AE+BE≥AB；
∴AB-AE-BE≤0，當AB過點E時取等號；
∴AB+AF+BF=8a+AB-AE-BE≤8a；
即直線x=m過橢圓的右焦點E時△FAB的周長最大；
此時△FAB的高為：EF=2a．
此時直線x=m=c=a；
把x=a代入橢圓
的方程得：y=±．
∴AB=3a．
所以：△FAB的面積等于：S△FAB=×3a×2a=．
點評：在解決涉及到圓錐曲線上的點與焦點之間的關系的問題中，圓錐曲線的定義往往是解題的突破口．解決本題的關鍵在于利用定義求出周長的表達式．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（12分）如圖所示，橢圓C： 的離心率，左焦點為右焦點為，短軸兩個端點為．與軸不垂直的直線與橢圓C交于不同的兩點、，記直線、的斜率分別為、，且．

（1）求橢圓 的方程；
（2）求證直線 與軸相交于定點，并求出定點坐標．
（3）當弦 的中點落在內（包括邊界）時，求直線的斜率的取值。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設是橢圓上的點， 、是橢圓的兩個焦點，則的值為
A． 10B． 8C．6D．4

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本題12分）直線l:y=kx＋1與雙曲線C:的右支交于不同的兩點A,B
（Ⅰ）求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

在平面直角坐標系中，對于任意兩點與的“非常距離”
給出如下定義：若，則點與點的“非常距離”為，
若，則點與點的“非常距離”為．
已知是直線上的一個動點，點的坐標是（0，1），則點與點的“非常距離”的最小值是_________．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知直線與拋物線相交于、兩點，為拋物線的焦點，若，則的值為         。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

曲線與直線有兩個交點，則的取值范圍為（   ）
A．B．
C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知當橢圓的長軸、短軸、焦距依次成等比時稱橢圓為“黃金橢圓”，請用類比的性質定義“黃金雙曲線”，并求“黃金雙曲線”的離心率為（      ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知圓過橢圓的兩焦點，與橢圓有且僅有兩個與圓相切 ，與橢圓相交于兩點記
（1）求橢圓的方程
（2）求的取值范圍；
（3）求的面積S的取值范圍.

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