Question

（12分）如圖所示，橢圓C： 的離心率，左焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)為，短軸兩個(gè)端點(diǎn)為．與軸不垂直的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)、，記直線、的斜率分別為、，且．

（1）求橢圓 的方程；
（2）求證直線 與軸相交于定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）當(dāng)弦 的中點(diǎn)落在內(nèi)（包括邊界）時(shí)，求直線的斜率的取值。

Answer 1

（1）．（2）直線 與軸相交于定點(diǎn)（0，2）；（3）。

試題分析：（1）由題意可知：橢圓C的離心率，

故橢圓C的方程為．…………………………………………………2分
（2）設(shè)直線的方程為，M、N坐標(biāo)分別為
由得
∴…………………………………………………4分
∵．
∴
將韋達(dá)定理代入，并整理得，解得．
∴直線 與軸相交于定點(diǎn)（0，2）………………………………………………7分
（3）由（2）中，其判別式，得．①
設(shè)弦AB的中點(diǎn)P坐標(biāo)為，則，
弦 的中點(diǎn)落在內(nèi)（包括邊界）

將坐標(biāo)代入，整理得 
解得 ②由①②得所求范圍為……………………………………12分
點(diǎn)評(píng)：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解析幾何的基本問(wèn)題，涉及直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題，常常運(yùn)用韋達(dá)定理，本題屬于中檔題。