Question

11．求函數(shù)y=$\frac{3{x}^{2}-1}{{x}^{2}+2}$的值域．

Answer 1

分析 利用分式函數(shù)的性質(zhì)以及轉(zhuǎn)化法進行求解即可．

解答 解：方法一：
y=$\frac{3{x}^{2}-1}{{x}^{2}+2}$=$\frac{3（{x}^{2}+2）-7}{{x}^{2}+2}$=3-$\frac{7}{{x}^{2}+2}$，
∵x²+2≥2，
∴0＜$\frac{1}{{x}^{2}+2}$≤$\frac{1}{2}$，
0＜$\frac{7}{{x}^{2}+2}$≤$\frac{7}{2}$，-$\frac{7}{2}$≤-$\frac{7}{{x}^{2}+2}$＜0，
3-$\frac{7}{2}$≤3-$\frac{7}{{x}^{2}+2}$＜3，
即$-\frac{1}{2}$≤y＜3，
即函數(shù)的值域為[$-\frac{1}{2}$，3）．
方法二：
由y=$\frac{3{x}^{2}-1}{{x}^{2}+2}$得yx²+2y=3x²-1，
即（3-y）x²=2y+1，
當y=3時，方程等價為0=7，不成立，
則y≠3，
∴x²=$\frac{2y+1}{3-y}$≥0，
得$-\frac{1}{2}$≤y＜3，
即函數(shù)的值域為[$-\frac{1}{2}$，3）．

點評 本題主要考查函數(shù)值域的求解，利用分式函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)以及函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．