Question

5．已知點C在圓O直徑BE的延長線上，CA切圓O于A點，CD分別交AE、AB于點F、D，∠ADF=45°．
（1）求證：CD為∠ACB的平分線；
（2）若AB=AC，求$\frac{AC}{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）判斷出△ADF為等腰直角三角形，根據(jù)弦切角定理，三角形外角定理，及圓周角定理的推論，即可得出結(jié)論；
（2）若AB=AC，結(jié)合（1）的結(jié)論，我們可得△ABC三個角分別為30°，30°，120°，解三角形，即可得到$\frac{AC}{BC}$的值．

解答 （1）證明：∵CA切圓O于A點，
∴由弦切角定理，可得∠CAE=∠B
∵BE為圓O的直徑
∴∠DAF=90°
∵∠ADF=45°，
∴∠ADF=∠AFD
∴∠ACD+∠CAE=∠B+∠BCD
∴∠ACD=∠BCD，
∴CD為∠ACB的角平分線；
（2）解：若AB=AC，則∠CAE=∠B=∠ACB=30°
則$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查的知識點是圓周角定理，弦切角定理，三角形外角定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．