Question

11．利用“二分法”判斷方程①3x²-lnx=0；②x+lnx=0；③x³-3x²+3x-4=0；④x+$\frac{1}{x}$=2中在區(qū)間（0，1）內(nèi)有實(shí)數(shù)解，則方程的序號為②．

Answer 1

分析 根據(jù)用二分法求方程的近似解的方法，函數(shù)必須是連續(xù)函數(shù)，且函數(shù)在零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值異號，由此檢驗(yàn)各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)，作出判斷．

解答 解：對于①因?yàn)樵冢?，1）上lnx＜0，3x²＞0，
所以3x²-lnx＞0，在（0，1）上恒成立，故在（0，1）無解；
對于②設(shè)f（x）=x+lnx，f（1）=1＞0，f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$+ln$\frac{1}{e}$=$\frac{1}{e}$-1＜0，
∴f（$\frac{1}{e}$）f（1）＜0，
∴x+lnx=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)有實(shí)數(shù)解；
對于③，設(shè)f（x）=x³-3x²+3x-4，則f′（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²≥0，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
∴f（0）=-4＜0，f（1）=1-3+3-4=-3＜0，
∴f（x）在（0，1）無零點(diǎn)，故x³-3x²+3x-4=0區(qū)間（0，1）內(nèi)無實(shí)數(shù)解；
對于④設(shè)f（x）=x+$\frac{1}{x}$+2，則f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0在（0，1）上恒成立，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴f（1）=1+$\frac{1}{1}$+2=3，當(dāng)x→0時(shí)，f（x）→+∞，
∴f（x）在（0，1）無零點(diǎn)，
故x+$\frac{1}{x}$=2中在區(qū)間（0，1）內(nèi)無實(shí)數(shù)解．
故答案為：②

點(diǎn)評 本題主要考查用二分法求方程的近似解，注意用二分法求方程的近似解的條件，屬于中檔題．