Question

6．考察下列等式：
cosθ+isinθ=a₁+b₁i，
（cosθ+isinθ）²=a₂+b₂i，
（cosθ+isinθ）³=a₃+b₃i，
…
（cosθ+isinθ）ⁿ=a_n+b_ni，
其中i為虛數單位，a_n，b_n（n∈N^*）均為實數．由歸納可得，當θ=$\frac{π}{2}$時，a₂₀₁₆+b₂₀₁₆的值為1．

Answer 1

分析 由題意，（cosθ+isinθ）²⁰¹⁶=a₂₀₁₆+b₂₀₁₆i，結合θ=$\frac{π}{2}$及復數的運算，即可得出結論．

解答 解：由題意，（cosθ+isinθ）²⁰¹⁶=a₂₀₁₆+b₂₀₁₆i，
∴cos2016θ+isin2016θ=a₂₀₁₆+b₂₀₁₆i，
θ=$\frac{π}{2}$時，cos1008π+isin1008π=a₂₀₁₆+b₂₀₁₆i，
∴a₂₀₁₆+b₂₀₁₆i=1，
∴a₂₀₁₆+b₂₀₁₆=1
故答案為：1．

點評 本題考查歸納推理，考查復數的運算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．